Relación de transmisión de engranajes helicoidales y su cálculo: fórmulas, ejemplos y casos reales.
La aritmética que hay detrás de un par de tornillo sin fin y rueda helicoidal, tres ejemplos resueltos y la realidad de los dientes enteros que arruina las proporciones perfectas de los libros de texto.
La relación de engranaje del tornillo sin fin es el número de dientes de la rueda dividido por el número de entradas del tornillo sin fin: i = Z₂ / Z₁. Un tornillo sin fin de una sola entrada que engrana con una rueda de 40 dientes da 40:1. Un tornillo sin fin de 4 entradas en la misma rueda da 10:1. La eficiencia está regida por el ángulo de avance y el ángulo de fricción a través de η = tan(λ) / tan(λ + φ) — típicamente 60 a 70 por ciento para transmisiones de una sola entrada de alta relación, 85 a 92 por ciento para transmisiones de múltiples entradas de baja relación. El par de entrada requerido es igual al par de salida dividido por (relación × eficiencia), y el número entero de dientes significa que la relación que realmente se obtiene rara vez es el número exacto que se ingresó en la hoja de especificaciones.
Las dos fórmulas a las que todo motor de gusano regresa
Olvídese por un momento de las largas listas de ecuaciones de paso y módulo. Dos fórmulas determinan el 90 por ciento de las decisiones de diseño en un par de tornillo sin fin y rueda helicoidal, y la mayoría de los errores de cálculo en la práctica provienen de la aplicación incorrecta de estas dos fórmulas, no de la geometría avanzada.
Fórmula 1 — Relación de reducción (cinemática)
i = Z₂ / Z₁
Donde Z₁ es el número de dientes del tornillo sin fin (1, 2, 3, 4, a veces 6) y Z₂ es el número de dientes de la rueda. Esto es pura geometría; el material y el lubricante no intervienen en la ecuación.
Fórmula 2 — Eficiencia mecánica
η = tan(λ) / tan(λ + φ)
Donde λ es el ángulo de avance del tornillo sin fin (función del número de arranques y del diámetro primitivo del tornillo) y φ es el ángulo de fricción del contacto (de 5 a 8 grados para acero sobre bronce bien lubricado, de 10 a 15 grados para lubricación deficiente). Aquí es donde entran en juego el material, el acabado superficial y la composición química del lubricante.
La importancia de estas dos fórmulas radica en que reflejan la principal disyuntiva de los engranajes helicoidales: una relación alta implica baja eficiencia, una relación baja implica alta eficiencia, y no se pueden tener ambas en un mismo conjunto. La segunda fórmula explica el coste oculto de la primera.
Leer correctamente la fórmula de la razón
Z₁ cuenta el número de inicios de rosca helicoidal en el gusano, no el número total de crestas de rosca visibles en cualquier posición circunferencial. Observe el gusano de frente. Un gusano de un solo inicio muestra una rosca que desciende en espiral por el eje. Un gusano de dos inicios muestra dos roscas que se enrollan en paralelo, con un desfase de 180 grados. Un gusano de cuatro inicios muestra cuatro roscas paralelas con una separación de 90 grados. La clave visual es el número de roscas individuales que se pueden seguir desde un extremo del gusano hasta el otro.
Z₂ cuenta los dientes de la rueda de la forma convencional: el número total de dientes alrededor de la circunferencia de la rueda. Una rueda de 40 dientes tiene 40 dientes. El número es entero por necesidad física; no se pueden tener 40,5 dientes.
La trampa de los números enteros que arruina las proporciones correctas de los libros de texto.
Tanto Z₁ como Z₂ deben ser números enteros, y esta restricción es más importante de lo que la mayoría de las calculadoras reconocen. Si un cliente solicita una relación de transmisión de "exactamente 35:1", nuestro departamento de ingeniería debe informarle que obtendrá una de las tres relaciones prácticas más cercanas: Z₂ = 35 con Z₁ = 1 da una relación de 35:1 exacta, Z₂ = 70 con Z₁ = 2 da una relación de 35:1 exacta, o Z₂ = 36 con Z₁ = 1 da una relación de 36:1 (un sobreimpulso del 2,9 %). La elección depende de las necesidades específicas de la aplicación: Z₂ = 35 es adecuado para un accionamiento de arranque simple, Z₂ = 70 duplica el diámetro de la rueda con el mismo módulo, y Z₂ = 36 es una pequeña solución intermedia que permite utilizar un tamaño de rueda más común.
Solicitar una relación de 35,5:1 simplemente no funciona; no existe ningún par de números enteros que proporcione exactamente esa relación. El valor exacto en la hoja de diseño debe redondearse a un valor que la fábrica pueda fabricar. Para las aplicaciones de fabricantes de equipos originales (OEM) coreanos y japoneses, donde los codificadores y controles de motor posteriores asumen una relación de transmisión exacta, este redondeo debe realizarse en la etapa de diseño, no después de la fabricación de las piezas.
Cómo se deriva la eficiencia del ángulo de ataque
El ángulo de avance λ es el ángulo entre la hélice del hilo sin fin y un plano perpendicular al eje del sinfín. Para un sinfín de una sola entrada con un diámetro de paso pequeño, λ puede ser de 3 a 5 grados. Para un sinfín de cuatro entradas con el mismo diámetro de paso y módulo, λ aumenta a 15 a 20 grados. La relación es geométrica: cuantas más entradas tenga el mismo módulo, más pronunciada será la hélice.
Sustituyendo los valores en la fórmula de eficiencia, la relación coste-beneficio se vuelve concreta. Supongamos un ángulo de fricción φ = 6 grados, lo cual es realista para acero bien lubricado sobre bronce fosforoso:
La forma de la curva importa. Pasar de un ángulo de avance de 3° a 10° prácticamente duplica la eficiencia. Pasar de 20° a 30° apenas influye. El punto óptimo para transmisiones de múltiples arranques de alta eficiencia se encuentra alrededor de los 15 a 20 grados de ángulo de avance; más allá de eso, se obtienen rendimientos decrecientes y se comienza a perder el ancho de la cara de la rueda que hace que la transmisión sea funcional. La mayoría de los pares de tornillo sin fin y rueda helicoidal de catálogo se encuentran en dos grupos: de 3 a 5 grados (autobloqueantes de alta relación) o de 12 a 18 grados (accionados de eficiencia de relación media).
Un error común: un diseñador lee “η = 70 por ciento” en el catálogo del fabricante y lo considera una constante para dimensionar el motor. No lo es. El 70 por ciento es la eficiencia nominal a carga y velocidad nominales. A una décima parte de la carga, el par de fricción dentro de la caja de engranajes se mantiene prácticamente constante, mientras que el par útil se reduce en un 10%, lo que puede provocar que la eficiencia medida caiga por debajo del 30 por ciento. Siempre dimensione el motor para el punto de operación real, no para la placa de características. Si solo tiene cargas ligeras en el ciclo de trabajo, el porcentaje que debe usar en el cálculo del par de entrada es el valor a carga parcial, no el del catálogo.
Ejemplo práctico 1: Accionamiento de cinta transportadora
Una cinta transportadora plana mueve 80 kg de producto a 0,5 m/s a lo largo de una línea de 40 m. La polea motriz tiene un diámetro de 200 mm. El cliente requiere un funcionamiento intermitente (40 % encendido, 60 % apagado) y un accionamiento silencioso. No se requiere autobloqueo, ya que la cinta es horizontal.
El siguiente tutorial detalla cada paso aritmético, desde la fuerza de la cinta transportadora hasta la selección del motor. El mismo procedimiento sirve para cualquier dimensionamiento de transportadores; lo único que cambia son los valores de entrada.
Observe la decisión de redondeo en el paso 5: la relación aritmética exacta es 29,4:1, pero la relación de dientes enteros más cercana es 30:1, lo que resulta en una velocidad de la cinta ligeramente menor. El cliente aceptó esta solución intermedia sin que se apreciara ninguna diferencia en la salida de la cinta transportadora. Esto es habitual en los accionamientos industriales.
Ejemplo práctico 2: Accionamiento del tambor del elevador
Un pequeño elevador de taller levanta hasta 500 kg en un tambor de 100 mm de radio. La velocidad de elevación es de 6 m/min. El autobloqueo es obligatorio, ya que la caída de la carga supondría un riesgo para la seguridad. El cliente desea utilizar un motor trifásico estándar de 1400 rpm.
El sistema de autobloqueo elimina los gusanos de arranque múltiple; nos vemos obligados a utilizar un diseño de arranque único con un ángulo de avance bajo, aceptando la penalización en la eficiencia.
De este cálculo se desprenden dos aspectos importantes. Primero, la penalización en eficiencia por el autobloqueo es considerable: aproximadamente el 67 % de la potencia de entrada se convierte en calor en el accionamiento. Segundo, la potencia requerida por el motor (3 kW) es mucho mayor que la que necesitaría la misma carga con un reductor helicoidal de ángulo recto de alta eficiencia (quizás 1,5 kW). El cliente está pagando por el autobloqueo con un mayor consumo de electricidad durante la vida útil del polipasto. Para un polipasto de taller que funciona unas 200 horas al año, esta compensación es aceptable. Para un polipasto de producción que funciona las 24 horas, no lo sería; la solución adecuada en ese caso sería un reductor helicoidal con un freno mecánico independiente.
Ejemplo práctico 3: Mesa giratoria indexada
Una mesa indexadora de 4 estaciones posiciona los dispositivos de soldadura para bastidores de asientos de automóviles. Cada estación soporta 12 kg, la masa total de la mesa es de 80 kg y el radio de la mesa es de 400 mm. El tiempo de indexación por estación es de 1,2 segundos (rotación de 90 grados). El par de retención entre movimientos debe resistir movimientos accidentales, pero el accionamiento en sí está sujeto eléctricamente por un servofreno; el autobloqueo es deseable, pero no obligatorio.
Este cálculo es dinámico, no estático. La carga dominante es la aceleración de la masa de la mesa a través de 90 grados en 1,2 segundos; el par máximo se produce durante la aceleración, no durante la rotación constante. Las aplicaciones de servocontrol también requieren una holgura menor que los ejemplos de transportadores o polipastos.
El perfil de aceleración asume una rampa de velocidad triangular: los primeros 0,6 segundos se aceleran y los últimos 0,6 segundos se desaceleran. La velocidad angular máxima en el punto medio es 2 × 0,785 rad / 1,2 s = 1,31 rad/s. La aceleración angular máxima es 1,31 / 0,6 = 2,18 rad/s².
En resumen: las aplicaciones de indexación dinámica basan el cálculo en el par de aceleración, no en el par constante. El momento polar de inercia de la propia mesa suele predominar sobre la masa de la pieza, especialmente en mesas giratorias de acero pesado. La selección del servomotor debe satisfacer el par máximo, no el par medio; de lo contrario, la causa más común de que los prototipos de indexación se bloqueen durante el primer ciclo.
Errores de cálculo comunes que arruinan los diseños
Confundir Z₁ y Z₂. Sorprendentemente, en los primeros bocetos aparecen los dientes del tornillo sin fin y de la rueda intercambiados: alguien escribió el número de dientes de la rueda donde la fórmula espera los dientes del tornillo sin fin. El resultado es una proporción calculada de 1/40 en lugar de 40, lo que hace que los cálculos parezcan absurdos e impide por completo el desarrollo del diseño. Etiquete siempre claramente: Z₁ para el tornillo sin fin, Z₂ para la rueda.
Olvidar dividir por eficiencia. La relación básica establece la relación cinemática entre las velocidades de entrada y salida. Para convertirla en par motor, es necesario dividir por la eficiencia. Si se omite el divisor de eficiencia, se especifica un motor demasiado pequeño. El accionamiento se bloqueará bajo carga nominal. El par de entrada es igual al par de salida dividido por (relación × eficiencia), siempre.
Tratar la eficiencia como una constante. La eficiencia nominal publicada corresponde a la carga nominal. La eficiencia a baja carga es mucho menor, ya que el par de fricción dentro de la caja de engranajes se mantiene prácticamente constante, mientras que el par útil disminuye. Utilice siempre la eficiencia en el punto de funcionamiento, no el valor nominal.
Utilización de par estático para aplicaciones dinámicas. Las mesas de indexación, los polipastos con cargas de impacto y cualquier accionamiento con ciclos frecuentes de arranque y parada deben dimensionarse para el par de aceleración máximo, no para el par en estado estacionario. El valor máximo puede ser de 2 a 4 veces superior al valor en estado estacionario, dependiendo del tiempo de ciclo.
Exigiendo ratios no enteros. Solicitar una relación de 47,3:1 no tiene solución. Redondee a la relación de dientes entera más cercana en la etapa de diseño. Si el controlador posterior necesita una relación exacta, diseñe primero la relación de engranajes y deje que la escala del controlador se ajuste a la relación real.
Olvidar el factor servicio. Un variador dimensionado exactamente según el par nominal calculado no tiene margen para variaciones de tensión de línea, envejecimiento, sobrecargas ocasionales o ciclos térmicos. Aplique un factor de servicio entre 1,3 (cargas intermitentes ligeras) y 2,5 (cargas de choque intensas) antes de seleccionar el motor y el conjunto de engranajes.
Preguntas frecuentes
P: ¿La relación de transmisión es lo mismo que la relación de reducción?
Para un par de tornillo sin fin y rueda helicoidal donde el tornillo sin fin es el impulsor, sí: la relación de transmisión i = Z₂/Z₁ es igual a la relación de reducción de velocidad. El eje de salida gira una vez por cada i vueltas del eje de entrada. En configuraciones poco comunes donde la rueda impulsa el tornillo sin fin (diseños de arranque múltiple con inversión de giro utilizados como embragues de rueda libre), la fórmula de la relación de transmisión se mantiene, pero la interpretación cinemática cambia. La rueda motriz del tornillo sin fin es el caso estándar y el único que requiere un tratamiento inequívoco.
P: ¿Cómo se calcula el ángulo de avance a partir de las dimensiones del tornillo sin fin?
El ángulo de avance λ = arctan( L / (π × d₁) ), donde L es el avance (avance axial por revolución = Z₁ × paso axial) y d₁ es el diámetro del paso del tornillo sin fin. Para un tornillo sin fin de 1 entrada con paso axial de 9,42 mm y diámetro de paso de 36 mm: L = 9,42 mm, π × d₁ = 113,1 mm, por lo que λ = arctan(9,42/113,1) = 4,76°. Los tornillos sin fin de múltiples entradas tienen un avance proporcionalmente mayor: un tornillo sin fin de 2 entradas con el mismo paso y diámetro tendría λ = arctan(18,84/113,1) = 9,46°.
P: ¿Cuál es el ángulo de fricción típico para los conjuntos de engranajes helicoidales industriales?
Para acero sobre bronce fosforoso bien lubricado con aceite sintético para engranajes, el ángulo de fricción φ es aproximadamente de 5 a 7 grados (μ = 0,087 a 0,12). Para aceite mineral a temperatura moderada, de 7 a 9 grados. Para lubricación deficiente o condiciones de rodaje, de 10 a 15 grados. La velocidad de deslizamiento afecta la fricción: a velocidades muy bajas (menos de 0,5 m/s), predomina la lubricación límite y φ aumenta gradualmente; a velocidades moderadas (de 1 a 5 m/s), los efectos hidrodinámicos reducen φ; a velocidades muy altas, el calentamiento comienza a aumentar φ nuevamente. La mayoría de las calculadoras industriales asumen un valor constante de 6 grados como primera estimación.
P: ¿Cómo puedo obtener una proporción no estándar exacta como 50,5:1?
No es posible, al menos no con una sola etapa de tornillo sin fin y rueda helicoidal. La relación Z₂/Z₁ debe ser una relación de números enteros, y 50,5 = 10¹/², por lo que la única solución de una sola etapa es Z₁ = 2, Z₂ = 10¹. Una rueda de 101 dientes es inusual, pero factible. El enfoque más común es usar dos etapas: una etapa de tornillo sin fin con una relación de 50:1, seguida de una pequeña etapa de engranaje recto o planetario para ajustar con precisión la relación general. Los sistemas de dos etapas también alcanzan relaciones superiores a 200:1, que ningún conjunto práctico de engranajes de tornillo sin fin de una sola etapa puede lograr con precisión.
P: ¿Por qué mis cifras de eficiencia medidas son inferiores a las que predice la fórmula?
La fórmula η = tan(λ)/tan(λ+φ) proporciona únicamente la eficiencia del engranaje. La fórmula completa reductor de engranajes helicoidales También se incluyen pérdidas por rodamientos, fricción de los sellos de aceite y agitación del aceite, que no se contemplan en la fórmula. La eficiencia total de la transmisión suele ser entre 5 y 10 puntos porcentuales inferior al valor de engranaje. Para una unidad con una eficiencia de engranaje prevista del 70 %, se espera una eficiencia general de la transmisión de entre el 60 y el 65 %. Los valores medidos en banco de pruebas inferiores a la predicción de la fórmula son normales y no indican ningún problema.
P: ¿Puede cambiar la relación de transmisión de un engranaje helicoidal con el tiempo a medida que la unidad se desgasta?
No, la relación se determina por el número de dientes y permanece fija durante toda la vida útil del conjunto. Lo que cambia con el desgaste es la holgura (el pequeño juego rotacional entre el tornillo sin fin y la rueda bajo carga alternante) y posiblemente la eficiencia (debido a la variación de la rugosidad de la superficie y el estado del lubricante). La relación en sí es geométrica e inmutable mientras existan tanto los dientes como las roscas.
P: ¿Qué tan precisas son estas predicciones de eficiencia basadas en fórmulas?
Para el dimensionamiento inicial, las predicciones de la fórmula tienen una precisión de ±5 puntos porcentuales si se elige un ángulo de fricción realista. Para la selección final del motor en aplicaciones críticas, solicite datos de pruebas de banco al proveedor; la mayoría de los fabricantes de renombre, incluido el nuestro, pueden proporcionar curvas de eficiencia medidas en múltiples puntos de carga y velocidad. La fórmula es la herramienta adecuada para el diseño inicial; los datos de banco son la herramienta adecuada para la decisión final.
El cálculo de un engranaje helicoidal es sencillo, pero implacable. Si la fórmula de la relación básica es incorrecta, el error matemático se hace evidente de inmediato. Si el cálculo de la eficiencia es erróneo, el engranaje se envía, se sobrecalienta, pierde la garantía y el error permanece oculto durante meses hasta que comienzan a llegar las devoluciones. Las dos fórmulas al inicio de este artículo son fundamentales; solo hay que aplicarlas en el punto de operación real, con estimaciones de fricción realistas y redondeadas a números enteros que la fábrica pueda producir.
Para los equipos de diseño OEM coreanos y japoneses que desean que se revise un cálculo antes de comprometerse con las especificaciones del motor y la relación, nuestro departamento de ingeniería realiza un Revisión del cálculo de la relación de engranajes helicoidales En función de su ciclo de trabajo, aplica una eficiencia realista en el punto de operación real y recomienda un par de dientes que la fábrica puede entregar en el plazo de entrega estándar del catálogo. Disponemos de relaciones de catálogo estándar de 5:1 a 100:1 en todo nuestro catálogo. juegos de engranajes helicoidales de arranque simple y de arranque múltiple Para los módulos M1 a M8, y las proporciones personalizadas que no se encuentran en el catálogo, se fabrican bajo pedido según el plano.
¿Necesitas una revisión para comprobar si tu relación de transmisión y el tamaño del motor son correctos?
Envíenos el par de salida, las RPM de salida y el ciclo de trabajo. Realizaremos el cálculo completo, le recomendaremos un par de dientes enteros y le indicaremos la potencia del motor que realmente requiere el cálculo; normalmente, en un plazo de un día laborable coreano.
Editor: Cxm
